细杆的转动惯量推导涉及到物理学中的力学和转动动力学原理。下面是一个基本的推导过程：

首先，假设细杆的长度为L，质量为M，并且其质量分布是均匀的。为了计算转动惯量，需要选择一个参考点，通常选择细杆的一端或中心作为参考点。

选择参考点：

如果选择细杆的一端作为参考点，那么每个质元到参考点的距离从0变化到L。

如果选择细杆的中心作为参考点，那么每个质元到参考点的距离从-L/2变化到L/2。

质元的转动惯量：

对于细杆上的任意一个质元，其质量为dm，到参考点的距离为r，则该质元的转动惯量为dm * r^2。

积分求解：

由于细杆的质量是均匀分布的，dm = M/L * dr（其中dr是细杆的一个微小段）。

将dm代入质元的转动惯量公式，并对整个细杆进行积分，即可得到整个细杆的转动惯量。

对于选择细杆一端作为参考点的情况，转动惯量I的表达式为：

I = ∫(dm * r^2) = ∫((M/L) * dr * r^2) = (M/L) * ∫(r^3) = (M/L) * (r^4/4) 从 0 到 L

= (M/L) * (L^4/4L) = (ML^3)/12

对于选择细杆中心作为参考点的情况，转动惯量I的表达式为：

I = ∫(dm * r^2) = ∫((M/L) * dr * r^2) = (M/L) * ∫(r^3) = (M/L) * (r^4/4) 从 -L/2 到 L/2

= (M/L) * ((L/2)^4/4 - (-L/2)^4/4) = (ML^2)/12

这两个结果分别表示了以细杆一端和中心为参考点的转动惯量。在实际应用中，可以根据需要选择合适的参考点进行计算。