以下是我的回答，路由器的三种基本模式包括路由模式、接入点（AP）模式和中继模式。

路由模式是路由器最常用的模式，也是默认模式。在这种模式下，路由器会将不同设备之间的数据进行转发和交换，实现局域网内设备的互联互通。简单来说，它可以让我们家里的多台设备都能够连接到互联网。

接入点（AP）模式则是将路由器转变为一个无线网络接入点。在这种模式下，路由器会将有线信号转化为无线信号，让我们的设备可以通过无线方式连接到网络。这种模式适用于那些需要扩大无线覆盖范围或在没有有线网络的情况下提供无线接入的场景。

中继模式则是将路由器配置为一个中继设备，用来扩展已有AP或无线路由器的信号覆盖范围。当我们的无线信号无法覆盖到某些区域时，可以使用中继模式来增强信号，确保这些区域的设备也能稳定地连接到网络。

这些模式都有各自的特点和适用场景，我们可以根据实际需求来选择使用哪种模式。不过，需要注意的是，在配置和使用路由器时，我们应该遵循相关的安全规范，确保网络安全和数据的保护。